私の知人が、Wordpressにてお問合せフォームを設置しております。
Contact Form 7が動かないことがあるのかを調べてみました。

順に見つかった解決策を残します。基本的に説明文は、リンク先を引用しています。

1つめ:wordpressのformが動かないとき
 WordPressの「予約語」を使っていると動かない。

2つめ:WordPressプラグイン、Contact Form 7が動かないとき
 「Postfixが起動してなかった」

3つめ:Contact Form 7プラグイン(問い合わせメールフォームを作成)
 Contact Form 7プラグインでメールが送信できない場合: 当初メールフォームの送信ボタンをクリックした後にエラー表示はされないのですがメールが実際には送信されて来ませんでした。
 現在「さくらのレンタルサーバ」にWordPressをインストールして利用しております。プラグインを使ってメールフォームを作成した時に「メール」の「宛先」にGmailのメールアドレスを指定していました。

4つめ:自動返信メール 自動返信機能搭載のメールフォーム「Contact Form 7」
 Contact Form7が動かない症状で最も多いのが、送信ボタンをクリックしても、円形の矢印のようなものがクルクル回転して、一向に先に進まないという現象がある。
 この原因は、他のプラグインとの衝突が一番考えられる。
 当サイトの場合、Make casheというプラグインが原因だった。

5つめ:Contact Form 7が動かない
 Contact Form 7をSSL化したVirtualHost下、さらにカスタムパーマリンク下で動作させるためにちょっと苦労しました。
 もしSSL化していなければ問題なく普通に動作してくれます。(動作検証済み)